2021 AYT Matematik Çıkmış Soruları ve Çözümleri

$6=2\cdot 3$, $21=3\cdot 7$, $9=3^2$, $14=2\cdot 7$ olduğundan ifade $2^{a-c}\cdot 3^{a-b}\cdot 7^{b-c}$ biçimine indirgenir. Tam sayı olması için $a\ge c$, $a\ge b$ ve $b\ge c$ gerekir; sayılar birbirinden farklı olduğundan bu eşitsizlikler kesinleşir: $a>b>c$, yani $c<b<a$. En güçlü çeldirici A, üslerin farkının işaretini pay-payda karıştırarak ters yönde ($a<b<c$) yorumlamaktan kaynaklanır.

Toplam durum $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2}\right)=10$. Çarpımın tek olması için iki sayının da tek olması gerekir; tek sayılar $\{3,5\}$, bu durum sayısı $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{2}\right)=1$. Çarpımı çift olan durum sayısı $10-1=9$. Bu 9 durum içinde farkın da çift olması, iki sayının aynı paritede olmasını (ikisinin de çift seçilmesini) gerektirir; çift sayılar $\{2,4,6\}$, bu da $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2}\right)=3$ durumdur. Aranan olasılık $\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$. En güçlü çeldirici B) 1/5, payda olarak çarpımı çift olan durum sayısı (9) yerine tüm örnek uzayı (10) kullanılmasından kaynaklanır.

$a\in (22,5^{\circ },30^{\circ })$ için $2a\in (45^{\circ },60^{\circ })$, dolayısıyla $x=\tan (2a)\in (1,\sqrt{3})$ pozitiftir. $3a\in (67,5^{\circ },90^{\circ })$ olduğundan $y=\tan (3a)$ büyük pozitif değerler alır. $4a\in (90^{\circ },120^{\circ })$ ikinci bölgede olduğundan $z=\tan (4a)$ negatiftir. Buna göre $z<x<y$. En güçlü çeldirici B), $4a$'nın hâlâ birinci bölgede kaldığı varsayılıp $z$'nin pozitif alınmasından kaynaklanır.