2025 AYT Matematik Çıkmış Soruları ve Çözümleri

$M_1\times M_2=12$ çarpımını veren, $\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$ kümesinden farklı sayı çiftleri $(2,6)$ ve $(3,4)$ 'tür. $(2,6)$ çifti denenirse geriye $\{1,3,4,5,7,8\}$ kalır; $P=3\times M_3$ eşitliğini bu kümede sağlayan tek değer $M_3=1,P=3$ olur, geriye $\{4,5,7,8\}$ kalır; $M_4+M_5=9$ toplamını veren tek çift $4+5=9$ 'dur ve geriye $\{7,8\}$ kalır; ama bu kümede $R-M_6=2$ eşitliğini sağlayan çift yoktur (fark en fazla 1'dir), bu yüzden bu dal elenir. $(3,4)$ çifti denendiğinde geriye $\{1,2,5,6,7,8\}$ kalır; $P=3\times M_3$ eşitliğini sağlayan tek uygun değer $M_3=2,P=6$ 'dır. Geriye $\{1,5,7,8\}$ kalır; $M_4+M_5=9$ toplamını veren tek çift $1+8=9$ 'dur, geriye $\{5,7\}$ kalır; $R-M_6=2$ eşitliğini sağlayan tek çift $R=7,M_6=5$ 'tir. Böylece $P=6,R=7$ bulunur ve $P+R=13$ olur. Yanlış dalda ( $(2,6)$ çifti) ilerleyip son adımdaki tutarsızlığı fark etmeyen öğrenci, her adımda kalan sayı kümesiyle uyumlu tek yolu takip etme kuralını atlamış olur.

$\ln (a!)-\ln (b!)=\ln 2+\ln 3+\ln 5+\ln 7=\ln (2\cdot 3\cdot 5\cdot 7)=\ln (210)$ olduğundan $\frac{a!}{b!}=210$ , yani $(b+1)(b+2)\cdots a=210$ olur. $210=5\cdot 6\cdot 7$ olduğundan ardışık üç tam sayı çarpımı olarak $b+1=5$ , $a=7$ alınır; buradan $b=4$ , $a=7$ bulunur. a ile b ardışık olmadığından ( $7-4=3$ ) bu çözüm koşulu sağlar. Buna göre $a+b=11$ bulunur. En güçlü çeldirici B'dir: 210'un ardışık üçlü çarpımı ararken bir kaydırma hatasıyla $b+1=6$ , $a=8$ değil de eksik bir grup ( $3\cdot 4\cdot 5=60$ ile karıştırılıp $b=3$ , $a=6$ ) alınırsa $a+b=9$ bulunur. Kural: $a!/b!$ biçimindeki ifadeler ardışık tam sayıların çarpımıdır; verilen sayı önce asal çarpanlarına ayrılıp ardışık tam sayı çarpımı olarak yeniden gruplanmalıdır.

Kümedeki üç açı için trigonometrik değerler hesaplanır: $\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}$ , $\tan \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}$ , $\sec \frac{\pi }{6}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$ ; $\sin \frac{5\pi }{6}=\frac{1}{2}$ , $\tan \frac{5\pi }{6}=-\frac{\sqrt{3}}{3}$ , $\sec \frac{5\pi }{6}=-\frac{2\sqrt{3}}{3}$ ; $\sin \frac{7\pi }{6}=-\frac{1}{2}$ , $\tan \frac{7\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}$ , $\sec \frac{7\pi }{6}=-\frac{2\sqrt{3}}{3}$ . Altı olası atama tek tek denendiğinde yalnız x eşittir 5 pi bölü 6, y eşittir 7 pi bölü 6, z eşittir pi bölü 6 ataması koşulu sağlar: $\sin \frac{5\pi }{6}=\frac{1}{2}$ değeri $\tan \frac{7\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}$ değerinden küçük, o da $\sec \frac{\pi }{6}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$ değerinden küçüktür. Bu atamaya göre sayısal büyüklük sıralaması z eşittir pi bölü 6, x eşittir 5pi bölü 6, y eşittir 7pi bölü 6 olduğundan z < x < y bulunur. Çeldirici z<y<x (E şıkkı), koşulu sağlayan tek atamayı doğru bulup x ile y nin sayısal büyüklüğünü ters sıralayan öğrencinin düşebileceği sonuçtur.